Question

如图，已知正方形的边长为，点，，，分别在正方形的四条边上，且，则四边形的形状为________，它的面积的最小值为________．

Answer

正方形

【解析】

先证明△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG,从而得到HE=EF=FG=HG,然后证明EFGH四边形有一个角是直角,从而可判断出四边形EFGH的形状,设AE=x,则AH=(-x),依据正方形的面积公式以及勾股定理可得到四边形EFGH的面积与x的函数关系式,依据二次函数的性质求得二次函数的最小值即可.

∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D.
∵AE=DF=CG=BH,
∴AH=ED=FG=BG.
在△AEH、△DFE、△CGF、△BHG中, ,
∴△AEH≌△DFE≌CGF≌△BHG.
∴HE=EF=FG=HG.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△DFE,
∴∠AEH=∠DFE.
∵∠AHE+∠AEH=90°,
∴∠DEF+∠AEH=90°.
∴∠HEF=90°.
∴EHGF为正方形.
设AE=x,则AH=(-x).

∵正方形EFHG的面积=HE²=AE²+AH²=x²+( -x) ²=2x²-2 x+5,
∴当x=时,正方形的面积有最小值.
∴正方形EFHG的面积的最小值=.
故答案为:正方形;.