Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACDE为平行四边形时，求证：△ABE为等腰直角三角形．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CF；

(2) 首先证得△AFC为等腰直角三角形，然后即可证得△ABE为等腰直角三角形.

证明： (1)∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，

∴BE=CF；

(2)在□ABCD中，∠EAC+∠ACF=180°，

∴∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠FAB+∠ACF=90°，

又AF=AC，

∴∠F=∠ACF，

∴∠FAB+∠F=90°，

∴∠ACF=45°，

∴△AFC为等腰直角三角形，

∴△ABE为等腰直角三角形.

故答案为：(1)证明见解析；(2)证明见解析.