Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y =-x2+2x+3;(2)证明见解析；（3）满足题意的点P存在，其坐标为（1， ）．

【解析】（1）【解析】
由抛物线的顶点是M（1，4），

设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0）

又抛物线经过点N（2，3），

所以3=a（2-1）2+4，解得a=-1

所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

（2）证明：直线y=kx+t经过C(0,3)、M（1，4）两点，

∴,即k=1，t=3，即：直线解析式为y=x+3…4分

求得A(-1，0),D(-3，0)，∴AD=2

∵C(0,3), N（2，3）

∴CN=2= AD，且CN∥AD

∴四边形CDAN是平行四边形．……………6分

（3）【解析】
假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，

则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．

由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

由PQ2=PA2得方程：=u2+22， ……………………………………8分

解得，舍去负值u=，符合题意的u=，…………9分

所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）．…