Question

如图,AC是⊙O的直径,BC交O于点D,E是弧CD的中点，连接AE交BC于点F，∠ABC=2∠EAC.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若 tanB=，BD=6，求CF的长.

Answer

（1）见解析；（2）CF的长为．

【解析】

（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点，得到∠EAC=∠EAD，由于∠ABC=2∠EAC，则∠ABC=∠DAC，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，于是根据切线的判定定理得到AB是⊙O的切线；

（2）作FH⊥AC于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ABD中可计算出AD=8，利用勾股定理求得AB=10，在Rt△ACB中可计算出AC=，根据勾股定理求得BC=，则，CD=BC-BD=，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设CF=x，则DF=FH=-x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosB=，再利用比例性质可求出CF．

（1）证明：连接AD,

∵AC是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°，

∵E是的中点，∴∠EAC=∠EAD，∴∠DAC=2∠EAC，

∵∠ABC=2∠EAC，∴∠ABC=∠DAC，∴∠ABC+∠C=90°，

∴∠BAC=90°，∴CA⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）作FH⊥AC于H，如图，

在Rt△ABD中，∵tanB=，BD=6，

∴AD=8，

∴AB==10，

在Rt△ACB中，∵tanB=，

∴AC=，

∴BC=，

∴CD=BC-BD=，

∵∠EAC=∠EAD，即AF平分∠CAD，

而FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，

设CF=x，则DF=FH=-x，

∵FH∥AC，

∴∠HFC=∠B，

在Rt△CFH中，∵tan∠CFH=tanB==，

∴，解得x=，

即CF的长为．