Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣1，0），B（4，0）．（2）A'（1，4）；（3）P的坐标为（，-）或（，2+）．

【解析】试题（1）将（0，2）代入抛物线解析式求得a的值，从而得出抛物线的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得点A、B的坐标；

（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，可证明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的长，即可求得A′的坐标；

（3）分两种情况：①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），由圆周角定理得出点P坐标；②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F，求得M'F，在Rt△M'P'F中，由勾股定理得出P'F得的长，从而得出点P的坐标即可．

【解析】
（1）把C（0，2）代入y=ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a=2，

解得．

所以抛物线的解析式为．

令，可得：x1=﹣1，x2=4．

所以A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，

因为，且∠AOC=∠COB=90°，

所以△AOC∽△COB，

所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，

由A'H∥OC，AC=A'C得OH=OA=1，A'H=2OC=4；

所以A'（1，4）；

（3）分两种情况：

①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），

由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，

易得：MP=AB．所以P（，）．

②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，

点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），

则∠CP2B=∠CA'B=∠CAB．

作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F．

则M'E=BH=，EF==．

所以M'F==1．

在Rt△M'P'F中，P'F=，

所以P'M=2+．

所以P'（，2+）．

综上所述，P的坐标为（，）或（，2+）．