Question

如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．当△CGF是直角三角形时，线段AE的长为______．

Answer

2或6或或

【解析】

由题意得，分∠FGC和∠FCG和∠GFC为直角讨论，①当∠GFC为90时，E、F、C三点在同一直线上，所以△AEH∽△BCE,根据相似三角形的对应线段成比例可求出解;

②当∠GCF=90,此时F点正好落在BC上, △AEH≌△CGF, △AEH∽△GDH,可求得AE的值；

③当∠CGF=90时，C,G,H共线，所以不可能.

【解析】
①由题意得，∠FGC和∠FCG都不能为直角，当∠GFC为90时，E、F、C三点在同一直线上，所以△AEH∽△BCE， ,

设AE=x，有，可得x=2或者x=6，

②当∠GCF=90,此时F点正好落在BC上，则△AEH≌△CGF, △AEH∽△GDH,则

,解得x=4+2或x=4-2，

③当∠CGF=90时，C,G,H共线，所以不可能；

故答案：2或6或或.