Question

如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于点C，过C点作CD⊥AE的延长线于点D，直线CD与射线AB交于点P．

（1）判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．

Answer

（1）相切，证明详见解析；（2）.

【解析】

(1)连结OC,由AC平分∠EAB得到∠1=∠2,加上∠2=∠3,则∠1=∠3,于是可判断OC∥AD,因为CD⊥AD,所以OC⊥CD,则根据切线的判定定理得到DC为圆O切线;

(2)连结BC, 可得Rt△ACD∽Rt△ACB，计算出AD=8, 由OC∥AD，可得 △OPC∽△APD然后利用对应边成比例可计算出PB的长.

(1) 直线DP与⊙O相切,

连结OC,如图,

AC平分 ∠EAB,∠1=∠2,

OA=OC, ∠2=∠3

∠1=∠3,OC∥AD,

CD⊥AD,OC⊥CD,

DP为⊙0切线;

(2)解:连结BC,如图:在Rt△ACD与Rt△ACB,

∠ADC=∠ACB=90,∠1=∠2, Rt△ACD∽Rt△ACB，

,设AD=x，则，

，解得：（舍去），，

即:AD=8，

由（1）得OC∥AD， △OPC∽△APD

,设BP的长为y，可得：

，解得：y=

即BP的长为.