Question

折纸中的数学:打开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……

若这张矩形印刷用纸的短边长为a．

（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD（AB＞BC）进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求的值．

（2）如图③，②中的矩形纸片ABCD折成2开纸BCIH和4开纸AMNH，它们的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．

（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是       .（用含a的代数式表示）

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

(1)有折叠的性质，第一次折叠可得BC＝CE＝a，BE＝a，二次折叠

AB＝BE＝a，可得的值；

（2）由矩形的性质可得△MAH∽△HBC，可得结论.

(3) 由折叠的性质可得答案.

【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°．

∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，

∴∠CBE＝∠FBE＝45°．

∴∠CBE＝∠CEB＝45°．

∴BC＝CE＝a，BE＝a．

∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，

∴AB＝BE＝a．

∴＝

（2）根据题意和（1）中的结论，有AH＝BH＝a，AM＝a．

∴＝＝．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°．

∴△MAH∽△HBC．

∴∠AHM＝∠BCH．

∵∠BCH＋∠BHC＝90°．

∴∠AHM＋∠BHC＝90°．

∴∠MHC＝90°．

∴HC⊥HM．

（3）a2．