Question

如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.

(1)求证：FA＝FG；

(2)若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．

Answer

(1)证明见解析；(2)π.

【解析】

（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，弧AB=弧AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．

（2）根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据弧AB=弧AE，求出∠EOC=60°，即可求出弧EC的长度是多少．

(1)证明：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°.

∴∠ABE＋∠AGB＝90°.

∵AD⊥BC，

∴∠C＋∠CAD＝90°.

∵＝，

∴∠C＝∠ABE.

∴∠AGB＝∠CAD.

∴FA＝FG.

(2)连接AO，EO.

∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，

∴AB＝AO.

∵AO＝BO，

∴AB＝AO＝BO.

∴△ABO是等边三角形．

∴∠AOB＝60°.

∵＝，

∴∠AOE＝60°.

∴∠EOC＝60°.

∴的长为2π×(2＋2)×＝π.