Question

如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：PD+PE+PF等于多少，并证明你的猜想．

Answer

PD+PE+PF=a．理由见解析.

【解析】

延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，然后证明△PFG和△PDH是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PF=PG，PD=DH，再证明四边形BDPG和四边形CEPH是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得PG=BD，PE=CH，从而求出PD+PE+PF=BC．

【解析】
PD+PE+PF=a．理由如下：

如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，

∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等边三角形，

∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，

∴△PFG是等边三角形，

同理可得△PDH是等边三角形，

∴PF=PG，PD=DH，

又∵PD∥AB，PE∥BC，

∴四边形BDPG是平行四边形，

∴PG=BD，

∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a．