Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3过点A（-1，0），B（3，0），点M，N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

（3）若∠DMN=90°，MD=MN，直接写出点M的坐标．

Answer

（1）y=-x2+2x+3；（2）正方形的面积为24+8或24-8；（3）点M的坐标为（，）或（2，3）或（-1，0）或（，）．

【解析】

（1）根据点在抛物线图像上,将点代入解析式,待定系数法解题,

（2）设点M坐标为（m，-m2+2m+3），分别表示出ME=|-m2+2m+3|，MN=2m-2，由四边形MNFE为正方形得ME=MN,列方程,分类讨论即可求解,

（3）先求出直线BC解析式,设点M的坐标为（a，-a2+2a+3），表示出点N和点D坐标,由MD=MN,列方程,分类讨论即可求解.

（1）∵抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=-=1，

如图，设点M坐标为（m，-m2+2m+3），

∴ME=|-m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

∴点N的横坐标为2-m，

∴MN=2m-2，

∵四边形MNFE为正方形，

∴ME=MN，

∴|-m2+2m+3|=2m-2，

分两种情况：

①当-m2+2m+3=2m-2时，解得：m1=、m2=-（不符合题意，舍去），

当m=时，正方形的面积为（2-2）2=24-8；

②当-m2+2m+3=2-2m时，解得：m3=2+，m4=2-（不符合题意，舍去），

当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）-2]2=24+8；

综上所述，正方形的面积为24+8或24-8．

（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，

把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：

，解得：，

∴直线BC的函数表达式为y=-x+3，

设点M的坐标为（a，-a2+2a+3），则点N（2-a，-a2+2a+3），点D（a，-a+3），

①点M在对称轴右侧，即a＞1，

则|-a+3-（-a2+2a+3）|=a-（2-a），即|a2-3a|=2a-2，

若a2-3a≥0，即a≤0或a≥3，a2-3a=2a-2，

解得：a=或a=＜1（舍去）；

若a2-3a＜0，即0＜a＜3，a2-3a=2-2a，

解得：a=-1（舍去）或a=2；

②点M在对称轴左侧，即a＜1，

则|-a+3-（-a2+2a+3）|=2-a-a，即|a2-3a|=2-2a，

若a2-3a≥0，即a≤0或a≥3，a2-3a=2-2a，

解得：a=-1或a=2（舍）；

若a2-3a＜0，即0＜a＜3，a2-3a=2a-2，

解得：a=（舍去）或a=；

综上，点M的坐标为（，）或（2，3）或（-1，0）或（，）．