Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．

①求点B和点C的坐标．

②求△OAC的面积．

③是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）点B的坐标为（6,0），点C的坐标为（0,6）；（2）12；（3）M的坐标是：M（1，）或M（1，5）或（﹣1，7）

【解析】

试题（1）在y=-x+6中， 分别令x=0，y=0即可得到结论；

（2）根据三角形面积公式计算即可；

（3）根据三角形的面积公式可判断M的横坐标是1，然后把x=1分别代入OA和AC的解析式中计算对应的函数值即可得到M点的坐标．

试题解析：【解析】
（1）设y = 0，则x = 6；设x = 0，则y = 6，故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6）；

（2）S△OAC = OC×xA=×6×4 =12；

（3）存在点M使S△OMC=S△OAC．

设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y=mx，则4m =2，

解得：m=，则直线OA的解析式是：y=x．

∵当S△OMC= S△OAC时，即×OC×|x|=×12．

又∵OC=6，∴x =±1．

①当M在线段OA上时，x＞0，所以x=1时，y=，则M的坐标是（1，）；

②当M在射线AC：y=﹣x+6上时，由x=1，得y=5，则M的坐标是（1，5）；由x=－1，得y=7，则M的坐标是（－1，7）．

综上所述：M的坐标是：M（1，）或M（1，5）或（﹣1，7）．