Question

如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．

（1）求∠E的度数．

（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．

Answer

（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．理由见解析.

【解析】

（1）由角平分线定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，再根据三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，从而可得∠A=2∠E，继而可得∠E的度数；

（2）由角平分线定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，再根据三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，从而可得∠A=2∠E.

（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，

由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，

∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），

∴∠A=2∠E，

∵∠A=40°，

∴∠E=20°；

（2）∠A=2∠E，理由如下：

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，

由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，

∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），

∴∠A=2∠E．