Question

已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

Answer

(1)见解析;(2)k=1;(3)见解析.

【解析】

（1）分k=0时，方程为一元一次方程，有解，k≠0时，表示出根的判别式，再根据非负数的性质判断出△≥0，得到一定有实数根；

（2）令y=0，解关于x一元二次方程，求出二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标都是整数求出k值为1；

（3）先根据（2）中的k值写出二次函数解析式并整理成顶点式形式，然后写出点P的坐标，然后写出直线OP的解析式，再根据平移的性质设平移后的抛物线顶点坐标为（h，h），然后写出抛物线的顶点式形式为y=（x-h）2+h，再分①抛物线经过点C时，然后把点C的坐标代入抛物线求出h的值，再根据函数图象写出h的取值范围；②直线与抛物线只有一个交点时，联立直线与抛物线解析式消掉未知数y，利用根的判别式△=0列式求出h的值，然后求出交点坐标，从而得解．

（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，

②当k≠0时，△=（3k+1）2-4k•3，

=9k2+6k+1-12k，

=9k2-6k+1，

=（3k-1）2≥0，

所以，方程有实数根，

综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）令y=0，则kx2+（3k+1）x+3=0，

解关于x的一元二次方程，得x1=-3，x2=−，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k=1；

（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，

配方得y=（x+2）2-1，

∴抛物线的顶点M（-2，-1），

∴直线OD的解析式为y=x，

于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），

∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+h，

①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，

∴C（0，9），

∴h2+h=9，

解得h=，

∴当≤h＜时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；

②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，

由方程组，

消掉y得，x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，

∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，

解得h=4，

此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，

综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或≤h＜．