Question

问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG
∵M是的中点，
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为上一点，连接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC=2，请求出AC的长．

Answer

(1)见解析;(2)4

【解析】

（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；

（2）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；

（3）根据阿基米德折弦定理得出CE=BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论．

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA=MC．

在△MBA和△MGC中

，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

实践应用

（1）BE=CE+AC；

（2）根据阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE，

∵△BCD的周长为4+2，

∴BD+CD+BC=4+2，

∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，

∵BC=2，

∴CE=2，

在Rt△ACE中，∠ACD=45°，

∴AC=CE=4．