Question

定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；

（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；

（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（，3），N（，0）．

【解析】

试题（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，求出∠AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；

（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可；

②求出MN==2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可；

（3）证出OM==ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．

试题解析：【解析】
（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点．

过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，∴∠MON=60°．∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），∴∠MNO=90°．∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°．在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，∴OD=OPcos60°==，PD=OP•sin60°=×=，∴P（，）；

（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示．∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM= =．直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：

①如图3所示，∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM．

作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1．∵P的横坐标为1，∴y=×1=，∴P（1，）；

②如图4所示，由勾股定理得：MN==2．∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x，得： =x，解得：x=2，∴P（2，）．

综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；

（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（，0）．理由如下：

∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形．∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．