若关于x的一元一次方程-=1的解为x=-1,则k的值为( )
A. B. 1 C. - D. 0
x=2是下列哪个方程的解( )
A. x-1=-1 B. x+2=0 C. x=4 D. 3x-1=5
下列运用等式性质对等式进行变形,正确的是( )
A. 若a=b,则a-3=3-b B. 若x=y, C. 若a=b,则ac=bc D. 若,则a=c
定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线y=(x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是(,3),点N的坐标是(,0)时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是(3,),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
问题呈现:阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG
∵M是的中点,
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
实践应用:
(1)如图3,已知△ABC内接于⊙O,BC>AB>AC,D是的中点,依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC;
(2)如图4,已知等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为上一点,连接DB,∠ACD=45°,AE⊥CD于点E,△BCD的周长为4+2,BC=2,请求出AC的长.
已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.