Question

已知抛物线C₁：y₁=2x²﹣4x+k与x轴只有一个公共点．

（1）求k的值；

（2）怎样平移抛物线C₁就可以得到抛物线C₂：y₂=2（x+1）²﹣4k？请写出具体的平移方法；

（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C₂：y₂=2（x+1）²﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．

Answer

（1）k=2；（2）方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）﹣3＜m＜1．

【解析】

【试题分析】（1）与x轴有一个交点，即2x2﹣4x+k=0的解有两个相等的实数根,即△=16﹣8k=0，解得：k=2；

（2）C1配方得：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．

根据上加下减常数项，左加右减自变量得，平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；

（3）先求出当x=1时的函数值，得y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．

【试题解析】

（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；

（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．

则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；

（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．

在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．

则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．