Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．

（1）求点B、点D的坐标，

（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

Answer

（1）B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；（2）△ACD是以AC为斜边的直角三角形，面积为3.

【解析】

（1）由顶点坐标和A点坐标，可求得抛物线的解析式，容易求出B、D的坐标；

（2）根据点的坐标，利用勾股定理可求得AD、AC、CD的长，可判断△ACD的形状.

【解析】
（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵与x轴交于点A（3，0），

∴0=4a+4，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3

∴B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；

（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），

∴AD==3，CD==，AC==2，

∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2 ，

∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，

∴S△ACD=AD•CD=×3×=3．