Question

如图，已知二次函数y=x²+x−1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是______.

Answer

2

【解析】

先确定A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，-1），讨论：由于S△ABC=×4×1=2，所以在x上方，抛物线上一定有两点满足△APC的面积为2；当点P在x轴下方，设P点坐标为（x，y），作PD⊥x轴于D，利用S△APC=S梯形APDO-S△PDC-S△AOC得到3y+x+7=0，而y=x2+x−1，所以x2+3x+4=0，此方程无实数根，可判断在x下方，不存在抛物线上一点P满足△APC的面积为2．

∵令x=0，y=-1；令y=0，x2+x−1=0，解得x1=-3，x2=1，

∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，-1），

连结OB，

∵S△ABC=×4×1=2，

∴在x上方，抛物线上一定有两点满足△APC的面积为2；

当点P在x轴下方，设P点坐标为（x，y），（y＜-1），如图，作PD⊥x轴于D，

∵S△APC=S梯形APDO-S△PDC-S△AOC，

∴（3-x）•（-y）-（-1-y）•（-x）-×3×1=2，

∴3y+x+7=0，

而y=x2+x−1，

∴x2+3x+4=0，

∵△=9-4×4＜0，

∴此方程无实数根，

即在x下方，不存在抛物线上一点P满足△APC的面积为2．

故答案为2．