Question

如图，直线y=kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A，B．

（1）求k的值和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①若以O，B，N，P为顶点的四边形OBNP是平行四边形时，求m的值．

②连接BN，当∠PBN=45°时，求m的值．

Answer

⑴, ⑵⑶有两解,N点在AB的上方或下方, m= 与m=

【解析】

整体分析:

(1)把A(3,0)代入y=kx+2中求k值,把x=0代入y=kx+2,求出B点的坐标,由A,B的坐标求二次函数的解析式;(2)①用含m的式子表示出NP的长,由平行四边形的性质得OB=PN列方程求解;②连接BN,过点B作BN的垂线交x轴于点G,过点G作BA的垂线,垂足为点H, 设GH=BH=t,由,用t表示AH,AG,由AB=,求t的值,求直线BG,BN的解析式,分别与抛物线方程联立求解.

解:⑴,

二次函数的表达式为

⑵如图，设M(m，0),

则p(m,),N(m,

=

=

由于四边形OBNP为平行四边形得PN=OB=2,

解方程.

即

⑶有两解,N点在AB的上方或下方,m=与m=.

如图连接BN,过点B作BN的垂线交x轴于点G,过点G作BA的垂线,垂足为点H.

由得,

从而设GH=BH=t,则由,得AH=,

由AB=t+=,解得t=,

从而OG=OA-AG=3-=.即G()

由B(0,2),G()得.

将分别与联立,

解方程组得m=,m=.

故m=与m=.