Question

如图，已知抛物线 y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为 Q（2，﹣1），且与 y 轴交于点 C（0，3）， 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是抛物线上的一动点，从点 C 沿抛物线向 点 A 运动（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PD∥y 轴，交 AC 于点 D．

（1）求该抛物线的函数关系式及 A、B 两点的坐标；

（2）求点 P 在运动的过程中，线段 PD 的最大值；

（3）若点 P 与点 Q 重合，点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A，P，E，F 为顶 点的平行四边形？若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y = x² - 4x + 3，A (3，0)，B (1，0) ；（2） ；（3） (，1) ， ( ，1) ．

【解析】

（1）已知抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式，令y=0，求出两根，即可得出A、B的坐标；

（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，设D（x，﹣x+3），则P（x，x²﹣4x+3），表示出PD的长，利用二次函数的性质即可解答；

（3）当点 P 的坐标为 P（2，﹣1）（即顶点 Q）时，分两种情况讨论：①以 AP 为边进行构造平行四边形；②以 AP 为对角线进行构造平行四边形．

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得： 3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．

令y=0，得：x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3．

∵点A在点B的右边，∴A（3，0），B（1，0）；

（2）设直线 AC 的函数关系式为 y=mx+n，将 A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得： ，∴y=﹣x+3．

∵D 在 y=﹣x+3 上，P 在 y=x2﹣4x+3 上，且 PD∥y 轴，∴设D（x，﹣x+3），则P（x，x²﹣4x+3），∴PD=﹣x+3－（x2﹣4x+3）= －x2+3x=，∴当 x = 时，PD 取得最大值为．

（3）当点 P 的坐标为 P（2，﹣1）（即顶点 Q）时：

①以 AP 为边进行构造平行四边形．平移直线 AP 交 x 轴于点 E，交抛物线于 F．

∵P（2，﹣1），∴可设 F（x，1），∴x²﹣4x+3=1，解得：= ，=，∴符合条件的 F 点有两个，即 F1（，1），F2（，1）．

②以 AP 为对角线进行构造平行四边形，不存在这种情况，舍去．

综上所述：符合条件的 F 点有两个，即 （ ，1），（，1）．