Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．

(1)求证：∠CDB=∠BFD；

(2)若AB=10，AC=8，求DF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题（1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，于是得到结论；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．

试题解析：（1）∵DF与⊙O相切，

∴DF⊥OD，

∵OD⊥AC，

∴DF∥AC，

∴∠CAB=∠BFD，

∴∠CAB=∠CDB，

∴∠CDB=∠BFD；

（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，

∴AE=AC=×8＝4．

∵AB是⊙O的直径，

∴OA=OD=AB=×10=5，

在Rt△AEO中，OE==3，

∵AC∥DF，

∴△OAE∽△OFD．

∴，

∴，

∴DF=．