Question

如图，已知△ABC是等边三角形．

（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；

（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；

（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．

Answer

（1）猜想：AB=AF+BD；（2）猜想：AB=AF﹣BD；（3）AB=AF+BD．证明见解析.

【解析】整体

（1）由于AF=BE，可能有BD=AE，因此猜想AB=AF+BD；（2）根据题意，画出图形，由图形猜想AB=AF﹣BD；（3）证猜想（1），过点E作EG∥BC交AC于点G，则△AEG为等边三角形，可证△BDE≌△GEC，得BD=AE，即可证明.

【解析】
（1）猜想：AB=AF+BD；

（2）如图2，猜想：AB=AF﹣BD；

（3）如图（1），过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，

∵DE=CE，

∴∠CDE=∠ECD，

又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，

∴∠BED=∠GCE，

在△BDE和△GEC中，

，

∴△BDE≌△GEC，

∴BD=EG=AE

又∵AF=BE，

∴AB=BE+AE=AF+BD．