Question

已知，如图，抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式．   

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．   

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2+x﹣3（2）（3）P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）

【解析】

(1)把点B（1，0）、C（0，﹣3）标代入抛物线y=ax2+3ax+c求出a,c的值即可;

(2)过点D作DE∥y轴交AC于E,利用待定系数法求出直线AC的解析式,故可得出DE=﹣（m+2）2+3，,再由当m=﹣2时，DE有最大值为3，此时，S△ACD有最大值，从而可求出结论；

(3) ①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ,此时四边形ACP1E1为平行四边形,根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标;②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,令P（x，3），由x2+ x﹣3=3，得出x的值即可得出P点坐标.

（1）【解析】
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得：a= ，c=﹣3．

∴抛物线的解析式为y= x2+ x﹣3.

（2）【解析】
令y=0，则 x2+ x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0）、B（1，0）.

令x=0，则y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴S△ABC= ×5×3= .

设D（m， m2+ m﹣3），

过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3，则E（m，﹣ m﹣3），

DE=﹣ m﹣3﹣（ m2+ m﹣3）=﹣ （m+2）2+3，

当m=﹣2时，DE有最大值为3，

此时，S△ACD有最大值为 ×DE×4=2DE=6.

∴四边形ABCD的面积的最大值为6+ = ，

（3）【解析】
如图所示：

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1 ， 过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ， 此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C（0，﹣3），

∴设P1（x，﹣3），

∴ x2+ x﹣3=﹣3，

解得x1=0，x2=﹣3，

∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，﹣3），

∴设P（x，3），

∴ x2+ x﹣3=3，

解得x= 或x= ，

∴P2（ ，3）或P3（ ，3），

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（ ，3）或P3（ ，3）.