Question

已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，连接交于点．

求证：四边形为矩形；

当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．

在的条件下，若，求正方形周长．

Answer

证明见解析；（2）且时，四边形是一个正方形；（3）8.

【解析】

（1）根据已知条件证明∠DAE=90°，已知CE⊥AN，AD⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可以证明四边形ADCE为矩形；（2）且时，四边形是一个正方形，根据添加的条件证明，即可判定四边形ADCE为正方形；（3）根据勾股定理求得AD的长，根据正方形的性质即可求得正方形ADCE周长．

证明：∵，，垂足为点，

∴．

∵是外角的平分线，

∴．

∵与是邻补角，

∴，

∴．

即∠DAE=90°，

∵，，

∴，

∴四边形为矩形；

且时，四边形是一个正方形，

证明：∵且，，

∴，，

∴，

∴．

∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形；

由勾股定理，得

，，

即，

，

正方形周长．