Question

已知关于x的方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0

(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）10.

【解析】

试题（1）先把方程化为一般式：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两实数根，即要证明△≥0；

（2）先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=2k﹣1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．

试题解析：（1）证明：方程化为一般形式为：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，

∵△=（2k+1）2﹣4（4k﹣2）=（2k﹣3）2，

而（2k﹣3）2≥0，

∴△≥0，

所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；

（2）【解析】
x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，

整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]=0，

∴x1=2，x2=2k﹣1，

当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，

因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k﹣1，

解得k=，则三角形的三边长分别为：2，2，4，

∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；

当a=4为等腰△ABC的腰，

因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1=4，

则三角形三边长分别为：2，4，4，

此时三角形的周长为2+4+4=10．

所以△ABC的周长为10．