Question

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax²﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与 x轴交于 A，B 两（点 A 在点 B 左侧）．

（1）当抛物线过原点时，求实数 a 的值；

（2）①求抛物线的对称轴；

②求抛物线的顶点的纵坐标（用含 a 的代数式表示）；

（3）当 AB≤4 时，求实数 a 的取值范围．

Answer

（1）a=；（2）①x=2；②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；（3）a 的范围为 a＜﹣2 或 a≥．

【解析】

（1）把原点坐标代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2即可求得a的值；（2）①②把抛物线解析式配成顶点式，即可得到抛物线的对称轴和抛物线的顶点的纵坐标；（3）设 A（m，0），B（n，0），利用抛物线与 x 轴的交点问题，则 m、n 为方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=0 的两根，利用判别式的意义解得 a＞0 或 a＜﹣2，再利用根与系数的关系得到 m+n=4，mn= ，然后根据完全平方公式利用 n﹣m≤4 得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以 42﹣4•≤16，接着解关于a 的不等式，最后确定a的范围．

（1）把（0，0）代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2 得 3a﹣2=0，解得 a=；

（2）①y=a（x﹣2）2﹣a﹣2， 抛物线的对称轴为直线 x=2；

②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；

（3）设 A（m，0），B（n，0），

∵m、n 为方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=0 的两根，

∴△=16a2﹣4a（3a﹣2）＞0，解得 a＞0 或 a＜﹣2，

∴m+n=4，mn=， 而 n﹣m≤4，

∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，

∴42﹣4• ≤16，

即≥0，解得 a≥或 a＜0．

∴a 的范围为 a＜﹣2 或 a≥．