Question

给出如下定义：对于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一点 P（M，O，N 三点不共线，且点 P，O 在直线 MN 的异侧），当∠MPN+∠MON=180°时，则称点 P 是线段 MN 关于点 O 的关联点．图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图．

在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1．

（1）如图 2，已知 M（，），N（ ，﹣），在 A（1，0），B（1，1），C（，0）三点中，是线段 MN 关于点 O 的关联点的是哪个点；

（2）如图 3，M（0，1），N（，﹣），点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点．

①求∠MDN 的大小；

②在第一象限内有一点 E（m，m），点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点 E 的坐标；

③点 F 在直线 y=﹣x+2 上，当∠MFN≥∠MDN 时，求点 F 的横坐标 x 的取值范围．

Answer

（1）点 C 满足条件；（2）①60°；②△MNE 是等边三角形；③满足条件的点 F 的横坐标 x 的取值范围≤xF≤．

【解析】

（1）由题意线段 MN 关于点O的关联点的是以线段 MN 的中点为圆心，为半径的圆上，所以点 C 满足条件；（2）①如图 3﹣1 中，作 NH⊥x 轴于 H．易求∠MON 的度数，再根据“关联点”的定义即可求得∠MDN 的大小；②如图 3﹣2 中，结论：△MNE 是等边三角形．作 EK⊥x 轴于 K，求得∠MOE=60°；由∠MON+∠MEN=180°，推出 M、O、N、E 四点共圆，可得∠MNE=∠MOE=60°，由此即可解决问题；③如图 3﹣3 中，由②可知，△MNE 是等边三角形，作△MNE 的外接圆⊙O′，首先证明点 E 在直线 y=﹣x+2 上，设直线交⊙O′于 E、F，可得 F（， ），观察图形即可解决问题.

（1）由题意线段 MN 关于点 O 的关联点的是以线段 MN 的中点为圆心，为半径的圆上，所以点 C 满足条件；

（2）①如图 3﹣1 中，作 NH⊥x 轴于 H．

∵N（，﹣），

∴tan∠NOH= ，

∴∠NOH=30°，

∠MON=90°+30°=120°，

∵点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点，

∴∠MDN+∠MON=180°，

∴∠MDN=60°．

②如图 3﹣2 中，

结论：△MNE 是等边三角形．

理由：作 EK⊥x 轴于 K．

∵E（m，m），

∴tan∠EOK=，

∴∠EOK=30°，

∴∠MOE=60°，

∵∠MON+∠MEN=180°，

∴M、O、N、E 四点共圆，

∴∠MNE=∠MOE=60°，

∵∠MEN=60°，

∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°，

∴△MNE 是等边三角形．

③如图 3﹣3 中，由②可知，△MNE 是等边三角形，作△MNE 的外接圆⊙O′，

易知 E（，1），

∴点 E 在直线 y=﹣x+2 上，设直线交⊙O′于 E、F，可得 F（，），

观察图象可知满足条件的点F的横坐标 x 的取值范围≤xF≤．