Question

如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）。

（1）求点B的坐标；

（2）已知，C为抛物线与y轴的交点。

①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。

Answer

【解析】
（1）∵A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）。

（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为。

∴B点的坐标为（0，－3）。∴OB=1，OC=3。∴。

设点P的坐标为，则。

∵，∴，解得。

当时，；当时，，

∴点P的坐标为（2，5）或（－2，－3）。

②设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：

，解得：。

∴直线AC的解析式为。

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为。

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为。

∴。

∵，∴线段QD长度的最大值为。

【解析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标。

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标。

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。