Question

△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点C为等边△DEF的边DE的中点．

（1）如图1，当DE与BC在同一条直线上时，已知，求的值；

（2）如图2，当DE与AC在同一条直线上时，分别连接AF，BD，试判断BD和AF的位置关系并说明理由；

（3）如图3，当DE与△ABC的边均不在一条直线上时，分别连接AF，BD，求证：∠FAC＝∠CBD．

Answer

（1）1 （2）BD⊥AF （3）证明见解析

【解析】

（1）根据平行线的判定和平行线线段成比例解答即可；

（2）连接CF，延长BD交AF于G，利用相似三角形的判定和性质解答即可；

（3）连接CF，根据相似三角形的判定和性质解答即可．

（1）∵点C为等边△DEF的边DE的中点，

∴∠EFC=∠CFD=30°，

∵∠BAC=30°，

∴∠CFD=∠BAC，

∴DF∥AB，

∵，

∴，

∵ED=2CD，

∴；

（2）连接CF，延长BD交AF于G，则BD⊥AF于G，如图：

∵，∠ACF=∠BCD=90°，

∴△ACF∽△BCD，

∴∠FAC=∠CBD，

∵∠BDC+∠DBC=90°，

∴∠ADG+∠DAG=90°，

即BD⊥AF于G；

（3）连接CF，如图：

∵点C为等边△DEF的边DE的中点，

∴FC⊥DE，

∴∠FCD=90°，

∵∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，

∴∠FCA=∠BCD，

∵，

∴△ACF∽△BCD，

∴∠FAC=∠CBD．