Question

在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点 P 为 AB 边上的定点，且 AP＝AD．

（1）求证：PD＝AB．

（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边 BC 上有一动点 E，当的值是多少时，△PDE 的周长最小？

（3）如图（3），点 Q 是边 AB 上的定点，且 BQ＝BC．已知 AD＝1，在（2）的条件下连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，连接 CF，G 为 CF 的中点，M、N 分别为线段 QF 和 CD 上的动点，且始终保持 QM＝CN，MN 与 DF 相交于点 H，请问 GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2） （3）

【解析】

（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；

（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；

（3）GH=，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．

（1）在图1中，设AD=BC=a，则有AB=CD=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∵PA=AD=BC=a，

∴PD==a，

∵AB=a，

∴PD=AB；

（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，

连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，

设AD=PA=BC=a，则有AB=CD=a，

∵BP=AB-PA，

∴BP′=BP=a-a，

∵BP′∥CD，

∴ ；

（3）GH=，理由为：

由（2）可知BF=BP=AB-AP，

∵AP=AD，

∴BF=AB-AD，

∵BQ=BC，

∴AQ=AB-BQ=AB-BC，

∵BC=AD，

∴AQ=AB-AD，

∴BF=AQ，

∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB，

∵AB=CD，

∴QF=CD，

∵QM=CN，

∴QF-QM=CD-CN，即MF=DN，

∵MF∥DN，

∴∠NFH=∠NDH，

在△MFH和△NDH中，

，

∴△MFH≌△NDH（AAS），

∴FH=DH，

∵G为CF的中点，

∴GH是△CFD的中位线，

∴GH=CD= ×2=．