Question

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4cm，BC＝6cm，点E、F、G 分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点G的运动速度为2cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

（1）若点F的运动速度为2 cm/s．

①当t＝______s时，四边形EBFB′为正方形；

②若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

（2）若存在实数t，使得点B′与点O重合，求出t的值；并求出点F的运动速度．

Answer

（1）①；②2或；（2）

【解析】

（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；

（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；

（3）先根据点B′与点O重合，利用勾股定理求出t的值，再一次利用勾股定理求出F的运动速度.

（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，BE=4-t，BF=2t，

即：4-t=2t，

解得t=；

故答案为：；

（2）分两种情况，讨论如下：

①若△EBF∽△FCG，

则有，即，

解得：t=2；

②若△EBF∽△GCF，

则有，即，

解得：t=（不合题意，舍去）或t=．

∴当t=2s或t=s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似；

（3）过点O作ON⊥AB于点N，

则在Rt△OEN中，OE=BE=4-t，EN=BE-BN=4-t-2=2-t，ON=3，

由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，

即：32+（2-t）2=（4-t）2

解得：t=；

设F的运动速度为xcm/s，

过点O作OM⊥BC于点M，

则OF=BF=x，

则在Rt△OFM中，FM=BC-BF=3-x，OM=2，

由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，

即：22+（3-x）2=（x）2

解得：x=，

故点B′与点O重合时，t的值为s，点F的运动速度为cm/s.