Question

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB中点，点E，F分别在AC，BC边上，且AE=CF．

（1）求证：DE=DF；

（2）连接EF，求∠DEF的度数．

Answer

（1）详见解析；（2）∠DEF是45°．

【解析】

（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质、判定可以证明结论成立；

（2）根据全等三角形的性质和直角三角线斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质可以求得∠DEF的度数．

（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴∠A=∠DCB=45°，CD=AB=AD，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF；

（2）∵△ADE≌△CDF，

∴∠ADE=∠CDF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠CDF+∠EDC=90°，

∴∠EDF=90°，

又∵DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE=45°，

即∠DEF是45°．