Question

如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．

(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？

(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；

(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．

Answer

（1）45°；（2）∠MON=α．（3）∠MON=α

【解析】

试题（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；

（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；

（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可．

【解析】
（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，

∴∠AOC=90°+60°=150°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．

（2）如图2，∠MON=α，

理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，

∴∠AOC=α+60°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．

（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．

理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，

∴∠AOC=α+β．

∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，

∴∠MOC=∠AOC=（α+β），

∠NOC=∠BOC=β，

∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC

=（α+β）﹣β=α

即∠MON=α．