Question

等腰三角形ABC中,AB=CB=5,AC=8,P为AC边上一动点,PQ⊥AC,PQ与△ABC的腰交于点Q,连结CQ,设AP为x,△CPQ的面积为y,则y关于x的函数关系的图象大致是（     ）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】

过B作BD⊥AC于D，则AD=CD=4，由勾股定理可得BD=3，再分两种情况进行讨论：当Q在AB上时，求得△CPQ面积y=PQ×CP=-x2+3x（0≤x＜4）；当Q在BC上时，求得△CPQ面积y=PQ×CP=x2-6x+24（4≤x≤8），据此判断函数图象即可．

【解析】
过B作BD⊥AC于D，则AD=CD=4，
∴由勾股定理可得，BD=3，
如图所示，当Q在AB上时，

由PQ∥BD，可得 = ，
∴PQ=AP=x，
又∵CP=AC-AP=8-x，
∴△CPQ面积y=PQ×CP=×x×（8-x）=-x2+3x（0≤x＜4）；
如图所示，当Q在BC上时，CP=8-x，

由PQ∥BD，可得PQ=CP=（8-x），
∴△CPQ面积y=PQ×CP=×（8-x）（8-x）= x2-6x+24（4≤x≤8），
∴当0≤x＜4时，函数图象是开口向下的抛物线；当4≤x≤8时，函数图象是开口向上的抛物线．
故选：D．