Question

如图，半圆O的直径AC=2，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为_____．

Answer

【解析】

分两种情形讨论：①当∠DFE=∠BCE时，可以证明DB=DC，BC=CF，∠DFC=∠DBC=90°即可解决问题．②当∠FDE=∠BCE时，可以证明DF∥BC、△BDF∽△CBD得到 ＝ 列出方程解决问题．

【解析】

①如图1，当∠DFE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵点B为半圆的中点，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT△ABC中，∵AC=2 ，
∴AB=BC=AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC-FC=2-2，
②如图2，

当∠FDE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴ ＝，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
设BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2-x，
∴ ＝ ，整理得：x2+2x-4=0，
解得：x= -1+ （或-1-舍弃）
∴BD=-1．
故答案为2-2或-1．