Question

如图，已知在Rt△ABC与Rt△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，CD为Rt△ABC斜边上的中线，且ED∥BC．

（1）求证：△ABC∽△EDC；

（2）若CE=3，CD=4，求CB的长．

Answer

(1)见详解；(2) .

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B，根据平行线的性质得到∠EDC=∠BCD，等量代换得到∠B=∠EDC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到DE= =5，由直角三角形的性质得到AB=2CD=8，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：

∵在Rt△ABC，CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠B=∠EDC，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴△ABC∽△EDC；

（2）【解析】
∵∠DCE=90°，CE=3，CD=4，
∴DE= =5，
∵在Rt△ABC，CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AB=2CD=8，
∵△ABC∽△EDC，
∴ ＝ ，即 = ，
∴BC= ．