Question

如图，已知二次函数.

（1）求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点；

（2）这条抛物线与x轴交于两点A(x₁,0),B(x₂,O)(x₁<x₂),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A,B,C三点,求扇形MAC的面积S；

（3）在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）（3）P为（2，-3）或（，）.

【解析】

(1)计算判别式△=（m+3）2>0，即可判断抛物线与x轴有两个不同的交点.

（2）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．
（3）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：
①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；
②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．

（1）∵△=（m+3）2>0，

∴与x轴有两个不同的交点.

（2）∵

∴

∴m=1

∴

∴A（-1,0），B（3,0），C（0.3）

∴M（1,1）

∴R=，n=90°

∴

（3）设P为（t, ），则D为（t，0）

因为,所以DP与BC的交点Q为（t，t-3）

当△PBD被BC分为1：2两部分时，

即

解得t1=2，t2=3（舍），t3=3（舍），t4=

综上，P为（2，-3）或（，）