Question

已知：抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标；

（3）点D坐标为（1，﹣1），连接AD，将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN（点M、N分别与点A、D对应），使点M、N都在抛物线上，求点M、N的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2+x+2；（2）当x=2时，S有最大值为4，此时P（2，3）；（3）N（1，3），M（3，2）．

【解析】

(1) 根据抛物线y=y=﹣x2+bx+c经过A (-1, 0)C(0,2)两点,列出b和c的二元一次方程组,求出b和c的值, 进而求出抛物线的表达式;

(2)过点P作PQ//y轴,交直线BC于Q,设P(x,),则Q(x,);求出PQ的长, 利用=PQ.OB列出S关于的二次函数, 利用函数的性质求出面积的最大值,进而求出点P的坐标;

(3)作辅助线,根据线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN可知: 旋转后的MN与AD平行且相等,构建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根据A、 D两点的坐标发现, N点向下平移1个单位再向右移动两个单位得M,设N的坐标为:设N(m,) , 根据平移规律表示M (m+2, ) , 代入抛物线的解析式即可

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式：y=﹣x2+x+2；

（2）∵令y=0，则=﹣x2+x+2=0，

解得x1=﹣1，x2=4

∴B（4，0），

∴直线BC：y=﹣x+2；

如图1，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，

设P（x，﹣x2+x+2），则Q（x，﹣x+2）；

∴PQ=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

S△PCB=PQ•OB=×（﹣x2+2x）×4=﹣（x﹣2）2+4；

当x=2时，S有最大值为4，此时P（2，3）；

（3）如图2，过D作DG⊥x轴于G，过N作NH∥y轴，过M作MH∥x轴，交于H，

由题意得：△ADG≌△MNG，

∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），

∴AG=2，DG=1，

∴NH=DG=1，MH=AG=2，

设N（m，﹣m2+m+2），则M（m+2，﹣m2+m+2﹣1），

把M的坐标代入抛物线y=﹣x2+x+2中得：

﹣（m+2）2+（m+2）+2=﹣m2+m+2﹣1，

解得：m=1，

当m=1时，﹣m2+m+2=3，

∴N（1，3），M（3，2）．