Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

Answer

（1）抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；（2）当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．

【解析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10-2t，再由x=t时AD=-t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；

（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得．

（1）设抛物线解析式为y=ax（x-10），

∵当t=2时，AD=4，

∴点D的坐标为（2，4），

∴将点D坐标代入解析式得-16a=4，

解得：a=-，

抛物线的函数表达式为y=-x2+x；

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，

∴AB=10-2t，

当x=t时，AD=-t2+t，

∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）

=2[（10-2t）+（-t2+t）]

=-t2+t+20

=-（t-1）2+，

∵-＜0，

∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；

（3）如图，

当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），

∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），

当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；

当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；

∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，

当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P必平分矩形ABCD的面积，

∵AB∥CD，

∴线段OD平移后得到的线段GH，

∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，

在△OBD中，PQ是中位线，

∴PQ=OB=4，

所以抛物线向右平移的距离是4个单位．