Question

如图，抛物线y=ax²+bx－3过A(－1，0)、B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点．

（1）求直线AD及抛物线的解析式．

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点H，求线段PH的长度l与m的关系式，m为何值时，PH最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）E，使得P、H、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=﹣x﹣1；y=x2﹣2x﹣3；（2）l=-(m-)2+；；（3）存在；(2，﹣2)或(2，﹣4)或(2，﹣1)或(2，﹣5)或(0，﹣3)或(﹣2，﹣1)

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，建立关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，就可得出抛物线的解析式；再将x=2代入抛物线求出对应的函数值，得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的函数解析式；

（2）利用两函数解析式，设P点坐标为(m，﹣m﹣1)，H(m，m2﹣2m﹣3)，再列出l与m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得结果；

（3）利用二次函数的对称性，可得出点E与点C重合，即可得出点E的坐标，再根据（2）可知PH的长是正整数，DE平行且等于PH，点D的横坐标为2，可知PH=1或2，再分情况讨论分别求出点E的坐标．

（1）把A(－1，0)、B(3，0)代入函数解析式，可求得抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；

当x=2时，y=22﹣2×2﹣3，解得：y=﹣3，即D(2，﹣3)．

设AD的解析式为y=kx+b，将A(－1，0)，D(2，﹣3)代入，可得直线AD的解析式为y=﹣x﹣1；

（2）设P点坐标为(m，﹣m﹣1)，H(m，m2﹣2m﹣3)，l=(﹣m﹣1)﹣(m2﹣2m﹣3)，化简，得：l=﹣m2+m+2，配方，得：l=-(m-)2+，∴当m=时，l=，所以m为时，PH最长为．

（3）当点P运动到对称轴上时，则点E与点C重合，点C在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴当x=0时，y=-3，∴点E的坐标为（0，-3）．

∵PH的长是正整数及由（2）可知，DE∥PH，点D的横坐标为2，PH=1或2．

当PH=1时，则DE=1，∴-3+1=-2；-3-1=-4，∴点E（2，-2）或（2，-4）；

当PH=2时，则DE=2，∴-3+2=-1；-3-2=-5，∴点E（2，-1）（2，-5）．

同理可得点E（-2，-1）．

综上所述：存在满足E的点，它的坐标为(2，﹣2)或(2，﹣4)或(2，﹣1)或(2，﹣5)或(0，﹣3)或(﹣2，﹣1)．