Question

如图，AB 为半⊙O 的直径，弦 AC 的延长线与过点 B 的切线交于点 D，E 为 BD的中点，连接 CE．

（1）求证：CE 为 O 的切线；

（2）过点 C 作 CF  AB ，垂足为点 F，AC=5，CF=3，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1) 连接CO、EO、BC,可证的△EBOP≌△ECO，可得∠ECO=∠EBO=90°，所以CE为⊙O的切线；

（2）设：BF=x，利用勾股定理BC2+AC2=AB2可求出x的值，可得圆的半径.

(1)连接CO、EO、BC

∵AB是直径

∴∠BCA=∠BCD=90°

∵RtABCD中E为BD中点

∴CE=BE=ED

则△EBOP≌△ECO(SSS)

∠ECO=∠EBO=90°

∵点C在圆上

∴CE为⊙O的切线

（2）由题意得：AF=4

设：BF=x

利用勾股定理BC2=x2+32

BC2+AC2=AB2

x2+32+52=(x+4)2

解得：

则

则⊙O的半径为