Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P，AC=8，BC=6．

（1）当点O在AC上时，求证：2∠ACP=∠B；

（2）在（1）的条件下，求⊙O的半径．

（3）若圆心O在△ABC之外，则CP的变化范围是　   　．

Answer

（1）详见解析；（2）3；（3）＜CP≤8.

【解析】

（1）根据BC与AC垂直得到BC与圆相切，再由AB与圆O相切于点P，利用切线长定理得到BC=BP，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACP+∠BCP=90°，等量代换即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AC与BC垂直，得到BC与圆O相切，连接OP，BO，再由AB与圆O相切，得到OP垂直于AB，在Rt△OAP中，应用勾股定理即可得到结论.

（3）设OC=x，则OP=x，OA=AC-OC=8-x，求出PA的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BO的长，根据BC=BP，OC=OP，得到BO垂直平分CP，根据面积法求出CP的长，由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，即可确定出CP的范围．

(1)∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，

∴BC与⊙O相切．

∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC=BP，

∴∠BCP=∠BPC=(180°−∠B) ，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-(180°−∠B)=∠B．即2∠ACP=∠B；

(2) 连结OP

在Rt△ABC中，由勾股定理,求得AB=10.

∵BC、BA分别与⊙O切于C点、P点，

∴BP=BC=6，

∴AP=AB-BP=4，

在Rt△OAP中，OA=AC-OC=8-r，AP=4，OP=r，

∵OA2=OP2+PA2，

∴（8-r）2=r2+42，

∴r=3；

（3）＜CP≤8.

如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，

∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切，

连接OP、AO，

∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB，

设OC=x，则OP=x，OB=BC-OC=6-x，

∵AC=AP，∴BP=AB-AP=10-8=2，

在△OPA中，∠OPA=90°，

根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6-x）2，解得：x=，

在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，∴AO=．

∵AC=AP，OC=OP，∴AO垂直平分CP.

∴根据面积法得：CP==，则符合条件的CP长大于．

由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，

综上，当点O在△ABC外时, ＜CP≤8．