Question

如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点G.

求证：（1）DG⊥AG;

（2）AG+CG=AB.

Answer

见解析

【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DG⊥AG；

（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DG=DM，

结合AD=AD、∠AGD=∠AMD=90°即可证出△DAG≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AG=AM，由∠GAD=∠MAD可得出= ，进而可得出CD=BD，结合DG=DM可证出Rt△DGC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CG=BM，结合AB=AM+BM即可证出AG+CG=AB．

（1）连接OD，

OA=OD,

∠OAD=∠ODA,

DA平分∠BAC,

则∠OAD=∠CAD，

∠CAD=∠ODA，

AE∥OD，

DG是⊙O的切线，则

DG⊥AG；

（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，

DA平分∠BAC,

DG=DM，

结合AD=AD、∠AGD=∠AMD=90°,

△DAG≌△DAM（SAS），

AE=AM，

由∠GAD=∠MAD,

= ，

CD=BD，结合DG=DM可证出Rt△DGC≌Rt△DMB（HL），

CG=BM，

AB=AM+BM,

AG+CG=AB．