Question

如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．

（1）求证：∠BAD=∠PCB；

（2）求证：BG∥CD；

（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠COD=23°，求∠P的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）97°

【解析】

（1）根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.

（2）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由圆内接四边形的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；

（3）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（）°=97°．

（1）证明：如图1，

∵PC=PB，

∴∠PCB=∠PBC，

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠PCB=180°，

∴∠BAD=∠PCB；

（2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB，

∵∠BAD=∠BFD，

∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，

∴BC∥DF，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥CD；

（3）【解析】
由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，

∴四边形BCDH是平行四边形，

∴BC=DH，

在Rt△ABC中，

∵AB= DH，

∴tan∠ACB==，

∴∠ACB=60°，

连接OD，

∵∠COD=23°，OD=OC，

∴∠OCD=（180°﹣23°）=（）°，

∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（）°，

∵PC=PB，

∴∠P=180°﹣2×（）°=97°．