Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．

(1)求证：AO²=AE•AD；

(2)若AO=4cm，AD=5cm，求⊙O的面积．

Answer

(1)证明见解析；(2)π．

【解析】

（1）利用切线的性质以及切线长定理得出∠AOD=90°，进而得出△AOE∽△ADO，进而得出答案；
（2）利用三角形面积公式以及圆的面积公式求出即可．

(1)根据切线长定理可知：

∵∠OAE+∠ODA=（∠BAD+∠ADC）=90°，

∴∠AOD=90°，

∵∠OAE=∠OAE，∠AOD=∠AEO=90°，

∴△AOE∽△ADO，

∴

即AO2=AE•AD

(2)在Rt△AOD中，

OD==3，

∵S△AOD=×AD×EO=×AO×OD

即5×EO=4×3，

∴EO=，

∵OE是⊙O的半径，

∴S圆O=πr2=π．