Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D在AB的延长线上，且BD=6，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F.

(1)求⊙O的半径；

(2)设CD交⊙O于点Q，①试说明Q为CD的中点；②求BQ·BE的值．

Answer

（1）⊙O的半径为6；(2) ①证明见解析；②BQBE=36.

【解析】

（1）根据勾股定理求出AC，证明△ACB∽△ADE，根据相似三角形的性质求出DE，即可得到⊙O的半径；

（2）①连接EQ，根据等腰三角形的三线合一证明；

②连接BQ，根据等腰三角形的性质得到BQ⊥CD，得到B，Q，E三点共线，证明△BDQ∽△BED，根据相似三角形的性质计算即可．

（1）∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC==8．

∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴△ACB∽△ADE，∴==，即==，解得：DE=12，AE=20，则⊙O的半径为6；

（2）①连接EQ．

∵AE=20，AC=8，∴EC=ED=12．

∵DE为⊙O直径，∴∠EQD=90°，∴EQ⊥CD于Q，∴Q为CD中点；

②连接BQ．

∵BC=BD=6，Q为CD中点，∴BQ⊥CD，∴B，Q，E三点共线．

∵∠BDQ+∠EDQ=90°，∠B=∠B，∴△BDQ∽△BED，∴=，∴BQ•BE=BD2=36．