Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=－＋b(b＞0,b为常数)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴交于点C，与y轴正半轴相交于点D.

(1)若直线AB与⊙O相切于弧CD上一点，求b的值；

(2)若直线AB与⊙O有两个交点F、G.

①b为何值时，⊙O上有且只有3个点到直线AB的距离为2？并求出此时直线被⊙O所截的弦FG的长；

②是否存在这样的b，使得∠GOF=90°？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）b=5；（2）①b=，FG=4；②b=.

【解析】

（1）先求出A、B的坐标，进而求出AB的长度．由切线的性质可得OM=4，OM⊥AB于M，再由三角形的面积公式即可得出结论；

（2）①由⊙O上有且只有3个点到AB的距离为2，且OM=4，得出ON=2，△BON∽△BAO，再由相似三角形的对应边成比例即可求出b的值．连接OF．由勾股定理和垂径定理即可得到结论；

②当b=时，∠GOF=90°．通过作OP⊥ FG于P，得到△BOP∽△BAO，再由相似三角形的性质得到OP的长．在△OPG中，由勾股定理得到PG的长，从而得到△OFG为等腰直角三角形，即可得到结论．

（1）如图1．

∵一次函数y=-与x轴，y轴交于AB，∴A（）B（0，b），∴AB=．

∵AB与⊙O相切于弧CD上一点，r=4，∴OM=4，OM⊥AB于M，∴S△AOB=，∴b=5．

（2）①如图2．∵⊙O上有且只有3个点到AB的距离为2，且OM=4，∴ON=2，∴△BON∽△BAO，∴=，∴，∴b=．过O作JK∥FG交⊙O于J，K，则J和K到直线AB的距离等于2．

连接OF．∵ON=2，OF=4，∴FN=2，∴FG=4；

②如图3，当b=时，∠GOF=90°．理由如下：

作OP⊥ FG于P，∴△BOP∽△BAO，∴==，∴OP=2．

∵OG=4，∴OP=PG=2，∴∠OGF=45°，∴△OFG为等腰直角三角形，∴∠FOG=90°．