Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是________.

Answer

0或1＜AF＜ 或4

【解析】

学习了圆周角的推论: 直径所对的圆周角是直角, 可提供解题思路, 可以以EF为直径作圆, 以边界值去讨论该圆与矩形ABCD交点的个数.

【解析】
以EF为斜边的直角三角形的直角顶点P是以EF为直径的圆与矩形边的交点, 取EF的中点O,

(1) 如图1, 当圆O与AD相切于点G时, 连结OG, 此时点G与点P重合,只有一个点, 此时AF=OG=DE=1;

(2) 如图2,

当圆O与BC相切于点G, 连结OG,EG, FG, 此时有三个点P可以构成Rt△EFP,

OG是圆O的切线,OG⊥BC

OG∥AB∥CD

OE=OF,

BG=CG,OG=(BF+CE),

设AF=x, 则BF=4-x, OG= (4-x+4-1)= (7-x)

则EF=20G=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x)，

在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

得(7-x)=10+1+(4-x)2,解得x=，

所以当1